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1-Lezione 7 ottobre 2013: Presentazione del corso, modalita' d'esame, funzione modulo.
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2-Lezione 7 ottobre 2013 : Equazioni e disequazioni in cui compare la funzione modulo.
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3-Lezione 8 ottobre 2013: Monotonia e disuguaglianze esponenziali-logaritmiche, numeri naturali, principio di induzione completa, esercizi.
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4-Lezione 10 ottobre 2013: Principio di Induzione, permutazioni, disposizioni ed esercizi.
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5-Lezione 14 ottobre 2013: Permutazioni, disposizioni e combinazioni. Calcolo Combinatorio. Esercizi.
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6-Lezione 14 ottobre 2013: Insiemi numerici, assioma di completezza, massimo, minimo, estremo superiore e inferiore. Esistenza dell'estremo superiore.
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7-Lezione 15 ottobre 2013: I razionali non soddisfano l'assioma di Dedekind. Densita' dei razionali nei reali.
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8-Lezione 17 ottobre 2013: Generalita' sui numeri complessi.
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9-Lezione 21 ottobre 2013:Rappresentazione polare di un numero complesso; formula di De Moivre; radici n-esime di un numero complesso.
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10-Lezione 21 ottobre 2013: Esercizi sui numeri complessi.
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11-Lezione 22 ottobre 2013 parte 1: Esercizi sui numeri complessi.
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11-Lezione 22 ottobre 2013 parte 2: Cenni di topologia: intorni, frontiera, aperti e chiusi.
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12-Lezione 24 ottobre 2013: Cenni di topologia: chiusura, interno, intorni di + (-) infinito, punti isolati e punti di accumulazione.
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13-Lezione 28 ottobre 2013: Punti di accumulazione, l'estremo superiore (inferiore) e' un punto di accumulazione; definizione di continuita' e prime proprieta'.
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14-Lezione 28 ottobre 2013: Continuita': esempio funzione discontinua, continuita' nei punti isolati, teoremi algebrici, il seno e coseno sono funzioni continue, i polinomi sono funzioni continue, la definizione di limite.
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15-Lezione 29 ottobre 2013: Definizione di limite, unicita' del limite, limite da destra e da sinistra, algebra dei limiti, forme indeterminate, teoremi del confronto, teorema dei 2 Carabinieri.
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16-Lezione 31 ottobre 2013: Dimostrazioni del teorema del confronto e dei 2 Carabinieri, una funzione continua e' localmente limitata, se una funzione ha limite finito allora e' localmente limitata, teorema della permanenza del segno (per i limiti e per le funzioni continue), continuita' della funzione composta (senza dimostrazione), cambio di variabile nei limiti (senza dimostrazione), calcolo di alcuni limiti fondamentali.
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17-Lezione 4 novembre 2013: Limiti delle funzioni monotone; funzioni inverse: definizione, continuita' della funzione inversa.
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18-Lezione 4 novembre 2013: La funzione esponenziale: definizione e proprieta' e limiti fondamentali.; la funzione logaritmo: definizione e proprieta' e limiti fondamentali.
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19-Lezione 4 novembre 2013:Infinitesimi: prime proprieta'.
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20-Lezione 5 novembre 2013: Infinitesimi: algebra degli o-piccolo ed esempi.
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21-Lezione 7 novembre 2013: Infinitesimi: asintotica equivalenza, ordine e parte principale di un infinitesimo, sviluppi delle funzioni elementari, esempi ed esercizi.
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22-bis-Lezione 11 novembre 2013:Infinitesimi: sviluppi di McLaurin (centrati in 0) delle funzioni elementari, esempi ed esercizi.
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22-Lezione 11 novembre 2013:Successioni: definizione, esempi, sottosuccessioni, teoremi algebrici, teoremi del confronto, esempi, criteri della radice e del rapporto.
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23-Lezione 12 novembre 2013:Successioni: dimostrazioni del criterio del rapporto e della radice, esempi ed esercizi.
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24-Lezione 12 novembre 2013:Successioni: limiti di funzioni via limiti di successioni, limite delle successioni monotone.
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25-Lezione 14 novembre 2013:Successioni: il numero e, definizione dell'esponenziale, teorema di Bolzano Weierstrass per le successioni limitate. Funzioni continue su un intervallo: Teorema di Weierstrass per le funzioni continue, Teorema di Bolzano di esistenza degli zeri .
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26-Lezione 18 novembre 2013:Funzioni continue su un intervallo: Teorema dei valori intermedi, Teorema Weierstrass su intervalli illimitati.
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27-Lezione 18 novembre 2013:Teorema di Cauchy: una successione converge se, e soltanto se, e' di Cauchy. Serie numeriche: definizione, serie di Mengoli (telescopiche), serie armonica generalizzata, serie geometrica, condizione necessaria di convergenza, criterio di Cauchy, la serie armonica non converge, serie a termini positivi, esempi.
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28-Lezione 19 novembre 2013: Serie numeriche: serie a termini positivi, il criterio del confronto e del confronto asintotico, studio della serie armonica generalizzata, criterio della radice e del rapporto, esempi.
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29-Lezione 21 novembre 2013: Serie numeriche: criterio della radice e del rapporto: il caso l=1 e' indecidibile, serie a termini di segno alterno, convergenza assoluta implica convergenza (ma non vale il viceversa), serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz, stima dell'errore commesso nel prendere la ridotta n-eima in luogo della somma, esempi.
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30-Lezione 25 novembre 2013: Derivazione: definizione, esempi, retta tangente, differenziabilita'.Teoremi algebrici: derivata della somma, del prodotto e della composizione. Derivata della funzione inversa, del reciproco e del rapporto. Esempi .
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31-Lezione 26 novembre 2013: Derivazione: legame tra la retta tangente al grafico della funzione e la retta tangente al grafico dell'inversa, locale monotonia e segno della derivata prima. Funzioni derivabili su un intervallo: Lemma di Fermat, Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Conseguenze del Teorema di Lagrange: studio della monotonia di una funzione, studio dei punti stazionari di una funzione. Asintoti. Studio di funzione. Esempi.
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32-Lezione dicembre 2013: Derivazione: perche' usare i radianti, perche' usare il logaritmo in base e. Il teorema dell'Hopital: versione 0/0 e (infinito)/(infinito), applicazioni. Sviluppi di Taylor: polinomio di Taylor, su unicita', formula di taylor con il resto di Peano, formula di taylor con il resto di Lagrange, applicazioni.
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33-Lezione dicembre 2013: Convessita': definizione, interpretazione geometrica; f(x) convessa sse il rapporto incrementale e' crescente, se f(x) derivabile, allora f convessa sse il grafico sta ``sopra'' alla retta tangente; se f(x) derivabile, allora f convessa sse la derivata prima e' crescente; se f(x) derivabile 2 volte, allora f convessa sse la derivata seconda e' positiva.
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34-Lezione dicembre 2013: Primitive: definizione ed esempi, due primitive differiscono per una costante, una funzione senza primitiva, integrazione per decomposizione in somma, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Esempi. Integrazione di alcune semplici funzioni razionali.
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35-Lezione dicembre 2013: Primitive: sostituzione razionalizzante ``t=tg(x/2)'', sostituzione ``t=radice(x)'', le funzioni iperboliche.
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36-Lezione dicembre 2013: Primitive delle funzioni razionali: il caso del denominatore con radici reali semplici, con radici reali multiple, con radici complesse coniugate semplici, con radici complesse coniugate multiple (i teoremi sono senza dimostrazione). Esempi.
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37-Lezione dicembre 2013: Integrali definiti: introduzione, somme per eccesso e difetto, area del sottografico della parabola, integrale di (3-x) sull'intervallo [0,4], definizione di integrale definito, esempio di funzione limitata non integrabile, monotonia delle somme per eccesso/difetto rispetto alla suddivisione, condizione necessaria e sufficiente di integrabilita'. Classi di funzioni integrabili: le funzioni monotone sono integrabili, le funzioni continue sono integrabili.
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38-Lezione dicembre 2013: Integrali definiti: somma di integrabili e' integrabile, f(x) integrabile allora kf(x) integrabile, teorema del confronto, f(x) integrabile allora |f|(x) integrabile (ma non vale il viceversa!), Teorema di Chasles, Teorema della Media Integrale e suo Corollario. Intervalli orientati e integrale definito su intervalli orientati.
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39-Lezione dicembre 2013: Integrali definiti: Teorema della Media Integrale e suo Corollario. Intervalli orientati e integrale definito su intervalli orientati. Teorema Fondamentale del Calcolo integrale parte 1 e parte 2. Calcolo di integrali definiti. Calcolo della derivata di una funzione integrale. Complementi: il teorema di sostituzione per gli integrali definiti.
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40-Lezione dicembre 2013: Integrali impropri: definizione, esempi, teorema del confronto, teorema del confronto asintotico, esercizi. Criterio dell'integrale improprio per le setie numeriche. Esercizi.
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41-Lezione dicembre 2013: Esercizi su: studio di funzione, funzione integrale, infinitesimi, serie numeriche, integrali impropri.
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42-Lezione dicembre 2013: Esercizi sullo studio di funzione.
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43-Lezione dicembre 2013: Esercizi sugli sviluppi di taylor, infinitesimi e infiniti.
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44-Lezione 7 gennaio 2014: Definizione di funzione lipschitziana (lip) e di funzione uniformemente continua (uc), concetti globali, lil implica continuitˆ' ma non vale il viceversa, lil implica uc ma non vale il viceversa, uc implica continua ma non vale il viceversa, teorema di Heine-Cantor. Legame tra lipschitzianita' e derivabilita'.
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45-Lezione 9 gennaio 2014 (mattino): Enunciati e dimostrazioni: derivabilita'. Ripasso rapido di alcune dimostrazioni da portare all'esame.
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46-Lezione 9 gennaio 2014 (pomeriggio): Enunciati e dimostrazioni: integrazione'. Ripasso rapido di alcune dimostrazioni da portare all'esame.
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47-Lezione 14 gennaio 2014: breve ripasso sugli integrali impropri; esercizi sugli integrali impropri.
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48-Lezione 15 gennaio 2014 : Esercizi sugli integrali impropri; Confronto tra serie e integrale improprio (con dimostrazione); esercizi.
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LEZIONI FUTURE (su alcuni argomenti, come ad esempio la convessita', trovate molto piu' materiale di quello che farete a lezione. Le lezioni del mese di dicembre non saranno esattamente uguali a quello che avete fatto in aula. Se qualche argomento trattato a lezione non e' riportato nelle dispense, fatemelo sapere, grazie!). |
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50-Lezione gennaio 2014: Definizione di funzione lipschitziana (lip) e di funzione uniformemente continua (uc), concetti globali, lil implica continuitˆ' ma non vale il viceversa, lil implica uc ma non vale il viceversa, uc implica continua ma non vale il viceversa, teorema di Heine-Cantor. Legame tra lil e funzioni derivabili. Seguono alcuni complementi che non verranno trattati a lezione.
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gennaio 2014: Alcuni complementi al corso (non vengono chiesti all'esame, a meno che lo studente non lo desideri).
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TANTI AUGURI PER UN BUON 2014. |
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