Talks / Conferenze

Qui potete trovare i testi di alcune mie conferenze divulgative che sono occasionalmente invitato a tenere nelle Scuole Superiori. Quelle indicate dai numeri 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9 e 14 nell'indice qui sotto sono elementari, le altre sono rivolte ad un pubblico di studenti universitari: dopo l'indice trovate una descrizione piú dettagliata.

Chi è interessato ad una raccolta di articoli divulgativi di matematica e fisica rivolti principalmente agli studenti e ai docenti delle Scuole Superiori consulti la Miscellanea Franco Conti.

Indice

  1. Variazioni Goldbach: problemi con numeri primi
    Si veda [A7]
  2. Perché il problema di Goldbach è difficile?
  3. Alcune proprietà dei numeri primi e loro applicazioni alla crittografia
  4. Formato A4: aritmetica e geometria con un foglio di carta
    Si veda [A10]
  5. L'importanza di essere primo
    Si veda [A11]
  6. Alcune proprietà dei numeri primi
    Si vedano [PM1] e [PM2]
  7. Cryptographia ad usum Delphini
    Si veda [PM4]
  8. Quanto vale π?
    Si veda [A13]
  9. Algoritmo di Euclide, numeri di Fibonacci e frazioni continue
    Si veda [A25]
  10. Breve storia dei numeri primi
    Si veda [A38]
  11. Serie numeriche e somme infinite (in preparazione)
  12. La funzione zeta di Riemann e la distribuzione dei numeri primi (in preparazione)
  13. Macchine che producono numeri primi
    Si veda [A44]
  14. Rappresentazione grafica di Z*n
    Liceo Scientifico “Attilio Bertolucci”
    Si veda [A50]
  15. I numeri primi: teoremi, congetture e applicazioni
    “Summer School: la matematica incontra il mondo,” San Pellegrino Terme (BG), 5–7 settembre 2016
  16. Due spiccioli di Crittografia
    “I bitcoin e le criptomonete — dall'informatica all'economia,” Museo del Calcolo, Cittadella Galileiana, Pisa, 17.3.2017. Conferenza per l'Associazione Culturale XlinX
  17. Quanto vale π?
    “Girotondo su π tra formule e racconti (Pisa celebra la giornata mondiale del π),” Museo del Calcolo, Cittadella Galileiana, Pisa, 14.3.2018. Conferenza per l'Associazione Culturale XlinX
    Si veda [A13]
  18. Intervento nella trasmissione radiofonica di RAI Radio3 Scienza dal titolo La ballata dei numeri primi, andata in onda il 25 luglio 2018
  19. Intervista per la rivista wired.it pubblicata online il 24 settembre 2018
  20. Intervento nella trasmissione radiofonica di RAI Radio3 Scienza dal titolo Una difficile congettura, andata in onda il 26 settembre 2018
  21. Due parole ai Dilettanti

Questi seminari sono rivolti per la maggior parte ad un pubblico che conosce i rudimenti della Matematica, in particolare studenti degli ultimi 2 o 3 anni delle Scuole Superiori. I piú abbordabili sono i numeri 4, 7, 9, che non richiedono particolari prerequisiti e sono fruibili da un pubblico generale. La prima parte dei seminari 1 ed 8 è accessibile a tutti, ma la seconda parte è piú difficile. I seminari numero 2 e 3 sono lezioni universitarie rivolte rispettivamente a studenti di Matematica e di Ingegneria. Gli articoli divulgativi 5 e 6 sono di livello diverso, e non ne ho ancora tratto seminari.


Variazioni Goldbach: problemi con numeri primi

Questo è il testo di una conferenza divulgativa che ho tenuto il 20 ottobre 1998, in occasione dell'apertura a Parma della Mostra OLTRE IL COMPASSO. Non è necessaria una grande conoscenza della matematica per comprendere la maggior parte del testo. Si dà un'argomentazione euristica elementare (basata su una variante del Crivello di Eratostene) che fornisce una formula asintotica per il numero delle rappresentazioni di un numero pari grande come somma di due numeri primi dispari, a sostegno della Congettura di Goldbach secondo la quale ogni numero pari > 4 si può scrivere come somma di due numeri primi dispari. La formula cosí ottenuta è messa a confronto con i valori calcolati direttamente ed utilizzata per spiegare le irregolarità di questi valori. Inoltre si studiano problemi analoghi che possono essere affrontati con le stesse tecniche (problema dei primi gemelli, costellazioni di primi, problema ternario di Goldbach) e vengono ricavate le formule corrispondenti.

Si veda anche [A7]. Disponibile nel formato pdf.
I lucidi sono disponibili nel formato pdf.

English abstract. We give essentially elementary arguments based on Eratosthenes' sieve to find the expected asymptotic formula for the number of representations of a large even number n as a sum of two primes and apply the same method to similar additive problems involving prime numbers. The argument is used to explain the irregularities observed in the number of representations, as n grows to infinity.

See also [A7]. Available in English in the format pdf.
To appear in English in Bona Mathematica.

(Riprodotto per gentile concessione della rivista L'Educazione Matematica che ne detiene il copyright).


Perché il problema di Goldbach è difficile?

Questo è il testo di una conferenza tecnica tenuta a Parma l'11 maggio 2000 per tentare di spiegare le vere difficoltà del problema di Goldbach: è rivolta in particolare a chi conosce un po' di matematica a livello universitario, ed è necessaria la conoscenza di serie di potenze, serie di Fourier, analisi complessa.

Disponibile nel formato pdf.

Una versione estesa è diventata un capitolo della dispensa [LN7].


Alcune proprietà dei numeri primi e loro applicazioni alla crittografia

Questo è il testo di alcune lezioni che ho tenuto a Parma nel dicembre 2000, e di nuovo nel dicembre del 2001 per il Corso di Sistemi di elaborazione del Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica, a proposito delle applicazioni della Teoria dei Numeri, ed in particolare delle proprietà dei numeri primi, alla crittografia. Non è necessaria, ma non guasta, una buona conoscenza della matematica.
Si parla dei gruppi Z/nZ, delle loro proprietà e della loro rilevanza crittografica, dei metodi crittografici a chiave pubblica (in particolare RSA) e di alcuni algoritmi che ne permettono la realizzazione pratica. Non vengono fornite molte dimostrazioni dei teoremi presentati, ma se ne descrivono i passi fondamentali per mezzo di esempi numerici.

Si veda anche [LN3]. Disponibile nel formato pdf.

Una trattazione piú completa si trova nella dispensa [LN5].


Formato A4: aritmetica e geometria con un foglio di carta

Si tratta del testo di una conferenza divulgativa che prende a pretesto il fatto che il rapporto fra le dimensioni dei lati di un foglio di carta nel formato A4 è 99/70, uno dei convergenti della frazione continua di √2, per parlare di ricorrenze, geometria, il metodo di Newton ed altro, usando solo argomentazioni elementari. In coda, si danno spunti per letture ed approfondimenti ulteriori.

Si veda anche [A10]. Disponibile nel formato pdf.

English abstract. We take as our text the fact that the ratio of the sides of a sheet of paper in the common A4 format is one of the convergents of the continued fraction for √2, for a journey through geometry, recurrences, Newton's method, …, using essentially only elementary arguments.

(Riprodotto per gentile concessione della rivista L'Educazione Matematica che ne detiene il copyright).


L'importanza di essere primo

In questo articolo divulgativo ci occupiamo di alcune proprietà peculiari dei numeri primi che sono “profonde” senza per questo essere particolarmente difficili, essendo basate essenzialmente sulla nozione di congruenza che deriva da quella elementare di divisibilità. Come applicazione concreta delle idee esposte, abbiamo incluso la descrizione di un popolare sistema di crittografia a chiave pubblica (ElGamal), ed un algoritmo di scomposizione in fattori (diverso dalla divisione ripetuta) che sfrutta in modo essenziale l'idea di congruenza.

Questo articolo fa parte di un volume in onore di Franco Conti.

Si veda anche [A11]. Disponibile nel formato pdf.


Alcune proprietà dei numeri primi

Si tratta di due articoli, scritti in collaborazione con il mio amico Alessandro Languasco, per il sito web Matematica Pristem, nei quali descriviamo una serie di proprietà dei numeri primi che difficilmente si trovano esposte nei libri di testo. Questi articoli non sono rivolti ad un pubblico di specialisti ma a chiunque abbia qualche curiosità in materia, e non richiedono particolari conoscenze matematiche. Solo in appendice diamo qualche spunto ulteriore, ed utilizziamo occasionalmente anche della matematica un po' piú sofisticata. Potete leggerli in formato html direttamente sul sito web agli indirizzi Alcune proprietà dei numeri primi, I e Alcune proprietà dei numeri primi, II, rispettivamente, oppure in formato pdf, sia dal sito stesso (Parte I, Parte II) che scaricandoli da qui (Parte I , Parte II). Si vedano anche [PM1][PM2].


Cryptographia ad usum Delphini

Questa è una conferenza che ho tenuto per la “Settimana della cultura scientifica e tecnologica” del 2005. Ho tenuto una conferenza simile, dal titolo “Aritmetica e Crittografia”, per lo Stage per gli Studenti delle Scuole Superiori che ho organizzato nel 2005. Si parla di due esempi di crittogrammi presenti nella letteratura, e precisamente “Lo scarabeo d'oro” di Edgar Allan Poe, e “Viaggio al centro della terra” di Jules Verne. Poi si esamina il metodo di Cesare, uno dei piú antichi metodi crittografici noti in Occidente, e le debolezze di questi sistemi crittografici classici. Infine si esaminano un paio di sistemi crittografici moderni, e se ne studiano le basi matematiche. Il testo della conferenza è liberamente disponibile in formato pdf.


Quanto vale π?

Si danno due dimostrazioni della formula di Archimede–Viète per π e le dimostrazioni delle formule usate da Machin, Shanks ed altri per calcolare π con centinaia di cifre a partire dal Settecento.


Algoritmo di Euclide, numeri di Fibonacci e frazioni continue

Si descrive l'Algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore fra due numeri interi e se ne fa una parte dell'analisi di complessità. Si scopre che il numero di iterazioni necessarie è massimo se gli interi dati sono termini consecutivi della successione dei numeri di Fibonacci. Si passa poi alla frazione continua del rapporto fra gli interi dati, si generalizza alle frazioni continue infinite, concludendo con la scoperta che le frazioni continue periodiche hanno valore irrazionale quadratico.

Questa è stata una delle mie conferenze per lo Stage per gli studenti delle Scuole Secondarie. Il testo della conferenza sarà pubblicato nel volume “Progettare Lavorare Scoprire — Istantanee Matematica” per il “Progetto Lauree Scientifiche.” Si veda anche [A25]. Disponibile nel formato pdf.


Due parole ai Dilettanti

Avvertenza importante
Diverse persone, dopo aver letto quanto segue, mi hanno mandato messaggi di posta elettronica contenenti insulti varî (hate mail), suggerendo che il mio ego sia troppo sviluppato. I miei amici e i miei studenti concordano, invece, che questo non è uno dei miei pur numerosi difetti. Gli stessi amici e studenti concordano anche sul fatto che quanto scritto oltre, a parte una scelta mia personale di alcuni aggettivi, rappresenta una descrizione ragionevolmente oggettiva dei fatti.

Ogni mese ricevo mediamente 2 o 3 fra lettere, telefonate o messaggi di posta elettronica da Dilettanti che ritengono di aver dimostrato almeno una fra le piú importanti Congetture della Teoria dei Numeri (Congettura di Goldbach, dei Primi Gemelli, …) o di aver trovato una dimostrazione piú semplice dell'Ultimo Teorema di Fermat. Scrivo queste righe per sgombrare il campo, nei limiti del possibile, dagli equivoci piú comuni.

Cominciamo con una questione di carattere generale: se contattate me o un qualunque altro mio Collega a questo proposito, dovete aspettarvi una robusta dose di scetticismo da parte nostra, dovuta in gran parte al fatto che di presunte dimostrazioni ne abbiamo lette a decine e finora erano tutte sbagliate, senza eccezione, spesso grossolanamente. In gran parte, queste dimostrazioni arrivano da persone che, per loro stessa ammissione, hanno scarse conoscenze di Matematica, spesso semplicemente quella delle Scuole Secondarie: queste conoscenze sono assolutamente insufficienti per poter capire in profondità i problemi di cui stiamo parlando; il nostro scetticismo, dunque, è quantomeno giustificato, non vi pare? Tanto per essere chiari, se qualcuno venisse da voi e vi dicesse: “Non so nulla di biologia, né di chimica, né di fisiologia, ma, usando solo il Piccolo Chimico, ho trovato il vaccino per l'AIDS”, quale sarebbe la vostra reazione?

Un primo comune equivoco riguarda il fatto che problemi che hanno una formulazione elementare debbano essere ipso facto elementari: la Teoria dei Numeri, e quella dei numeri primi in modo particolare, è piena di problemi aperti la cui formulazione si può facilmente spiegare usando esclusivamente concetti come i numeri primi o le potenze, che sono in effetti del tutto elementari. Questo non significa però che sia possibile spiegare in modo altrettanto elementare i motivi per cui si tratta davvero di problemi difficili. Si tenga presente che si riesce a malapena a dare una spiegazione significativa delle difficoltà agli studenti del 3° anno del Corso di Laurea in Matematica, e, fra l'altro, solo a quelli che hanno seguito dei corsi fatti su misura per questi problemi. Per essere chiari, anche solo capire il meccanismo di funzionamento dei migliori algoritmi di fattorizzazione oggi disponibili, richiede una preparazione che va oltre i primi due anni del Corso di Laurea in Matematica.

Un altro equivoco piuttosto comune è che la Matematica si sia fermata ai tempi di Pitagora e di Euclide: è stata creata piú Matematica negli ultimi 50 anni che nei 25 secoli precedenti. Questo equivoco è dovuto senza dubbio ai programmi di Matematica delle Scuole Superiori. Come conseguenza, è utile conoscere almeno i rudimenti della Matematica dell'ultimo paio di secoli prima di affrontare i difficili problemi di cui stiamo parlando.

Un ultimo equivoco: quando mi si chiede di leggere un articolo, di solito rispondo che non faccio di queste consulenze. A questo si obietta che mi si sta chiedendo un parere, non una consulenza.

Consulenza s.f. Prestazione di un consulente.
Consulente s.m. e f. Professionista a cui si ricorre per consigli, chiarimenti, pareri su materia inerente alla sua professione.
Giacomo Devoto e Gian Carlo Oli, Il dizionario della lingua italiana, Le Monnier, Firenze, 1990

Mi permetto di dare qualche consiglio generale: piú avanti troverete una discussione relativa all'Ultimo Teorema di Fermat, alla Congettura di Goldbach, alla Congettura di Riemann, agli Algoritmi di fattorizzazione, ed un elenco di riferimenti bibliografici in italiano che mi sento senz'altro di consigliare.

  1. Verificate sempre la fonte della Congettura: pare strano, ma spesso le persone che mi contattano non hanno letto il testo esatto su un libro di Matematica e si basano su vaghi ricordi o sulla tradizione orale
  2. Diffidate dei libri di divulgazione: spesso gli Autori hanno dovuto semplificare la trattazione per renderla accessibile al grande pubblico. In alcuni casi, inoltre, le traduzioni non sono state fatte da matematici professionisti e contengono errori, imprecisioni o fraintendimenti, talvolta anche molto gravi
  3. Diffidate delle tante “dimostrazioni” che si trovano “pubblicate” su Internet (come si verifica usando un motore di ricerca). Sicuramente non sono state controllate da un esperto, e quindi lasciano il tempo che trovano. In caso contrario, questi lavori sarebbero stati pubblicati su Annals of Mathematics o qualche altra rivista dello stesso livello, e gli Autori avrebbero ricevuto la Medaglia Fields …
  4. Leggete almeno una piccola parte della letteratura specialistica già esistente in materia. La lingua in cui è scritta la maggior parte degli articoli e dei libri scientifici è l'inglese: si può discutere se sia una cosa buona o meno, ma prima di affrontare questi problemi è necessario familiarizzare con ciò che è stato fatto finora. Il rischio, in caso contrario, è che scopriate di nuovo l'acqua calda, o che cadiate in errori ben noti
  5. Scrivete il vostro articolo in una forma comprensibile: indicate sempre l'enunciato esatto che intendete dimostrare, suddividete la dimostrazione in risultati parziali (lemmi, proposizioni, ecc.) e spiegate la struttura logica della dimostrazione stessa (se il Teorema segue dal Lemma 1 e dal Lemma 2, spiegate perché). Usate la notazione standard della Matematica. Aggiungete gli opportuni riferimenti bibliografici, tenendo presente che limitarsi a citare testi divulgativi o le pagine di Wikipedia (per quanto siano obiettivamente molto ben scritte, non possono certamente essere esaustive e si rivolgono al grande pubblico, non agli specialisti) non farà una buona impressione sui Recensori
  6. Invece di inviarlo a me, spedite il vostro articolo ad una Rivista universitaria (per esempio, ma non necessariamente, la Rivista di Matematica dell'Università di Parma: in questo caso tenete presente che tutti gli articoli di Teoria dei Numeri che riceviamo passano comunque da me, e non vi dovete fare molte speranze sulla pubblicazione). La redazione provvederà a far valutare il vostro articolo da un recensore che è un esperto internazionalmente riconosciuto, e vi farà avere il suo giudizio. A questo proposito, è bene osservare che questa è la procedura standard a cui vengono sottoposti tutti i lavori che le Riviste serie ricevono, a prescindere da chi ne è l'Autore. Mi affretto ad aggiungere che vi sono Riviste poco serie che pubblicano senza preventiva recensione: una decina di anni fa sono stato coinvolto, mio malgrado, in una polemica riguardo la pubblicazione di una dimostrazione della Congettura di Goldbach su una rivista italiana; la dimostrazione in questione era letteralmente infarcita di errori assolutamente banali, tali da far meritare all'Autrice una sonora bocciatura in un normale esame di Analisi 1
  7. Si noti che la “pubblicazione” su una delle numerosissime bacheche elettroniche oggi disponibili NON ha alcun valore di scientificità o correttezza: l'unico criterio valido è la pubblicazione (senza virgolette) su una rivista scientifica internazionale, come spiegato qui sopra.
Le richieste di cui sopra sono le stesse che qualunque matematico farebbe a qualunque altro matematico, e non hanno nulla di eccezionale. Mutatis mutandis, sono le richieste che un qualunque professionista di un qualunque campo dello scibile umano farebbe ad un collega, e sono semplicemente la base di partenza per una discussione seria.

C'è un altro punto importante da chiarire prima dell'esame dettagliato dei singoli problemi. Molto piú della mia personale approvazione, quello che conta realmente è l'opinione della comunità dei Teorici dei Numeri nel mondo. Questa la si può conoscere sottoponendo per la pubblicazione i vostri articoli, con le modalità discusse qui sopra, ma anche partecipando ad un convegno internazionale di Teoria dei Numeri (per carità, non quelli di didattica della Matematica, riservati a docenti delle Scuole Superiori e ai quali, probabilmente, non parteciperanno esperti di Teoria dei Numeri): un elenco aggiornato di convegni interessanti si trova sul Number Theory Website. Iscrivetevi ad uno di questi, e chiedete di presentare il vostro lavoro.

L'Ultimo Teorema di Fermat
Per prima cosa, è necessario notare che la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat è stata pubblicata da Andrew Wiles (si veda la Bibliografia consigliata qui sotto). Questo significa, fra l'altro, che la questione della priorità è definitivamente chiusa.

Un errore tipico, presente nella maggior parte delle “dimostrazioni” che ho ricevuto, sta nell'enunciato. L'enunciato corretto, infatti, è il seguente:

“Se a, b, c sono interi positivi, ed n è un intero ≥ 3, allora an + bncn.”
Qualche volta, probabilmente perché il testo è stato letto su un libro di divulgazione scritto male, viene dimostrato questo enunciato, che è assolutamente banale:
“Se a, b, c sono interi positivi con a2 + b2 = c2, allora an + bncn per ogni intero n ≥ 3.”
(Dimostrazione: se a2 + b2 = c2 allora a < c e b < c; quindi an + bn = a2an − 2 + b2bn − 2 < a2cn − 2 + b2cn − 2 = (a2 + b2) ⋅ cn − 2 = cn. Per motivi che non riesco a comprendere, quasi sempre questa semplice dimostrazione richiede ai Dilettanti con cui ho avuto a che fare pagine e pagine di calcoli.) Penso che la confusione dipenda dal fatto che l'Ultimo Teorema di Fermat viene spesso presentato come una generalizzazione del Teorema di Pitagora.

Un altro errore che trovo ripetutamente è quello di prendere (in una forma o in un'altra) il limite di qualche espressione per n che tende ad infinito. Questo è un errore molto grave, perché, al contrario, n è fissato: anzi, se pensate di avere una dimostrazione generale, e cioè valida per ogni n ≥ 3, provate a vedere se funziona specializzando n. In altra parole, scegliete per esempio n = 4 e verificate se la dimostrazione (nella quale n non è piú presente) funziona lo stesso. Questa è una delle prime verifiche che io stesso faccio alle dimostrazioni che mi vengono sottoposte.

Alcune buone ragioni per non mandarmi la vostra dimostrazione

  1. Io non credo che esistano dimostrazioni elementari dell'Ultimo Teorema di Fermat, e credo che lo stesso Fermat sia incorso in qualche errore quando ha affermato di avere una dimostrazione. Si ricordi sempre che Pierre de Fermat ha scritto una nota in margine ad un suo libro, nota che possiamo immaginare rivolta a sé stesso, e che fu il figlio Samuel a pubblicare l'epistolario e le note che il padre Pierre aveva fatto sui suoi libri. Fermat ha sfidato altri matematici del suo tempo a trovare la dimostrazione nel caso particolare n = 4, e non risulta che abbia detto pubblicamente di avere una dimostrazione valida in generale.
  2. Ho già letto 10 o 15, se non 20, dimostrazioni che mi sono state sottoposte a vario titolo. A parte i fraintendimenti di cui parlo sopra, in almeno 2 casi uno degli enunciati intermedi era falso già con numeri interi di una cifra. Non ho motivo di prendere sul serio altre dimostrazioni.
  3. Ma soprattutto, non ho voglia di sprecare il mio tempo nell'intraprendere interminabili diatribe. Pur essendo tutte le dimostrazioni che ho visto inequivocabilmente false, in nessun caso sono riuscito a convincerne l'Autore. Questo significa che abbiamo tutti quanti perso del tempo.
Chi volesse provare a studiare la dimostrazione di Andrew Wiles, può cominciare leggendo i libri di Husemöller [3] e Silvermann [6] citati qui sotto, per poi passare al libro di Coates, Greenberg, Ribet & Rubin [1]. Comunque non si tratta di una lettura semplice.

Bibliografia consigliata

  1. J. COATES, R. GREENBERG, K. A. RIBET & K. RUBIN, Arithmetic Theory of Elliptic Curves, Lecture Notes in Mathematics 1716, Springer–Verlag, New York, 1999
  2. G. H. HARDY & E. M. WRIGHT, An Introduction to the Theory of Numbers, quinta edizione, Oxford Science Publications, Oxford, 1979.
    Si veda in particolare il Capitolo 13.
  3. D. HUSEMÖLLER, Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics 111, Springer–Verlag, New York, 1987
  4. P. RIBENBOIM, Thirteen Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer–Verlag, New York, 1979.
  5. P. RIBENBOIM, Fermat's Last Theorem for Amateurs. Springer–Verlag, New York, 1999.
  6. J. SILVERMANN, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer–Verlag, New York, 1986
  7. A. WILES, “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem,” Annals of Mathematics 141 (1995), 443–551.
  8. MathWorld, voce Ultimo Teorema di Fermat.
    Si veda in particolare l'ultimo paragrafo immediatamente prima dei riferimenti bibliografici.

Non mi risulta che esistano esposizioni serie dei problemi relativi all'Ultimo Teorema di Fermat in italiano. Il noto libro di Simon Singh sull'argomento è interessante dal punto di vista umano, ma gravemente (e inspiegabilmente) impreciso da quello matematico.

La Congettura di Goldbach
Si noti che la Congettura di Goldbach è la seguente:
“Se n ≥ 4 è un numero pari, allora esistono due numeri primi (non necessariamente distinti) p1 e p2 tali che n = p1 + p2.”
Si noti anche in questo caso che l'enunciato seguente è del tutto banale (ma l'ho trovato in alcuni dei manoscritti che ho ricevuto):
“Esistono infiniti numeri pari n ≥ 4 per i quali esistono due numeri primi p1 e p2 (non necessariamente distinti)
tali che n = p1 + p2.”
Si noti infine che il numero 1 non è un numero primo. Montgomery & Vaughan, nell'articolo citato qui sotto, hanno dimostrato, in un senso quantitativo preciso, che gli eventuali interi pari maggiori di 4 che non sono somma di due numeri primi sono estremamente rari. Pintz ha recentemente dimostrato che nell'intervallo [1, X] ce ne sono al massimo X2/3. Naturalmente, nessuno crede che ne esistano, ma al momento attuale non è ancora possibile dimostrarlo.

Uno degli errori piú comuni che ho trovato riguarda il fatto che nelle presunte dimostrazioni l'unica proprietà dei numeri primi ≥ 3 che è effettivamente usata è che questi sono tutti dispari. Apparentemente, dunque, queste dimostrazioni dovrebbero funzionare con altri insiemi infiniti di numeri dispari al posto dei numeri primi (per esempio con le potenze di 3) e si vede molto facilmente che l'analogo della Congettura di Goldbach, in questi casi, può essere falso. Infatti, la Congettura di Goldbach ha speranza di essere vera perché i numeri primi sono numerosi (molto piú numerosi delle potenze di 3, per esempio) e sono ben distribuiti nelle progressioni aritmetiche: in un modo o nell'altro, queste proprietà fondamentali devono essere sfruttate.

Esistono diverse argomentazioni euristiche in sostegno della validità della Congettura di Goldbach. In questa stessa pagina se ne presentano due: la prima è di carattere elementare mentre la seconda è di natura tecnica. Si tratta comunque di argomentazioni e non di dimostrazioni, evidentemente.

La verifica numerica della validità della Congettura di Goldbach è perseguita da vari autori: per esempio, Tomás Oliveira e Silva mantiene una pagina aggiornata con i suoi ultimi risultati. In particolare, il 4 aprile 2012 ha annunciato di aver verificato la validità della Congettura di Goldbach per tutti gli interi pari fra 6 e 4 · 1018. Questa verifica numerica dà un'ulteriore misura della plausibilità della Congettura di Goldbach: ovviamente non potrà mai produrre una dimostrazione, ma solo, eventualmente, un controesempio.

Bibliografia consigliata

  1. H. DAVENPORT, Multiplicative Number Theory, terza edizione, Springer, Berlino, 2000.
    Si veda il Capitolo 26.
  2. H. L. MONTGOMERY & R. C. VAUGHAN, “The exceptional set in Goldbach's problem.” Acta Arithmetica 27 (1975), 353–370.
  3. R. C. VAUGHAN, The Hardy–Littlewood Method, seconda edizione, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
    Si veda il Capitolo 3.
  4. MathWorld, voce Congettura di Goldbach.
In italiano, nel bene o nel male, esistono le mie dispense [LN7]: si veda il Capitolo 7.

La Congettura di Riemann
La Congettura di Riemann riguarda la distribuzione dei numeri primi, e piú precisamente è equivalente alla disuguaglianza
| π(x) − ∫2x dt / (log t) | ≤ C x1/2 log x
per una certa costante positiva C e per tutti gli x ≥ 2, dove π(x) indica il numero dei numeri primi che non superano x. Altre forme equivalenti coinvolgono la funzione zeta di Riemann, ma non è questa la sede per entrare nei dettagli.

Per capire esattamente di che cosa si tratta, è necessario padroneggiare le funzioni di una variabile complessa (Teorema dei residui, prolungamento analitico, principio dell'argomento, integrazione su cammini, …): NON si tratta nel modo piú assoluto di un argomento elementare. È meglio diffidare dei libri divulgativi, soprattutto quando sono scritti male come quello, purtroppo famoso, di Marcus du Sautoy, The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics: in questo caso consiglio di leggerne prima la recensione di Stacy G. Langton, o quella di Paolo Marocco su La Rivista dei Libri, Anno XV, N. 5, Maggio 2005, pagg. 20–22. Il libro di Derbyshire è un onesto tentativo di rendere accessibile al grande pubblico una cosa non elementare, ma l'autore mi pare indeciso sul pubblico per cui sta scrivendo: dedica mezza pagina ad un'elaborata giustificazione della regola dei segni, e nelle pagine immediatamente successive usa la funzione logaritmo e la nozione di limite come cose scontate. Non si tratta di una lettura facile, soprattutto verso la fine, per chi non ha solide basi di matematica come quelle descritte all'inizio di questo capoverso.

Bibliografia consigliata

  1. T. M. APOSTOL, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, Berlino, 1975.
    Si veda il Paragrafo 19.3.
  2. J. B. CONREY, “The Riemann Hypothesis,” Not. Amer. Math. Soc. 50, 341–353, 2003.
  3. H. DAVENPORT, Multiplicative Number Theory, terza edizione, Springer, Berlino, 2000.
    Si veda il Capitolo 18.
  4. J. DERBYSHIRE, Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics
    Traduzione italiana: L'ossessione dei numeri primi. Bernhard Riemann e il principale problema irrisolto della matematica, Bollati Boringhieri, 2006.
    Se ne veda la recensione di S. W. Graham.
  5. H. M. EDWARDS, Riemann's Zeta Function, Academic Press, 1974. Ristampa Dover, 2001.
  6. A. E. INGHAM, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, ristampa 1990.
    Si veda il Capitolo IV.
  7. A. IVIC', The Theory of the Riemann Zeta–Function, John Wiley and Sons, New York, 1985.
  8. E. C. TITCHMARSH, The Theory of the Riemann zeta–function, seconda edizione rivista e annotata da D. R. Heath–Brown, Oxford University Press, Oxford, 1986.
    Si veda il Capitolo XIV.
  9. MathWorld, voce Congettura di Riemann.
In italiano, oltre al libro di John Derbyshire citato sopra, esistono anche le mie dispense [LN7] che possono servire da introduzione: si veda il Capitolo 6.

Algoritmi di fattorizzazione
Di recente ho ricevuto diverse richieste di analisi di algoritmi di fattorizzazione. Mi limito a dire solo due cose, perché il Lettore interessato può consultare le mie dispense [LN5], o, meglio, il libro che ho scritto con Alessandro Languasco citato nella bibliografia generale qui sotto. Chi sa l'inglese può fare ancora meglio e leggere il libro di Crandall & Pomerance, piuttosto. Per prima cosa, l'algoritmo noto fin dall'antichità e detto, per ovvi motivi, divisione per tentativi, è ormai solo una curiosità storica poiché nel ventesimo secolo sono stati trovati moltissimi algoritmi assai piú efficienti (il metodo di Lehman, il metodo ρ e il metodo p−1 di Pollard, il crivello quadratico di Pomerance, il crivello con i campi di numeri, …). La seconda cosa importante è che oggi sono significativi algoritmi di fattorizzazione dimostrabilmente efficienti per numeri di 100–200 cifre decimali. In altre parole, provare un algoritmo con i soli long int del linguaggio C (che arrivano a 232 ≅ 4.3 ⋅ 109) è del tutto irrilevante e di conseguenza è del tutto inutile che me ne chiediate l'analisi.
Chi è interessato alla questione correlata dei criteri di primalità può leggere il bellissimo articolo di Andrew Granville indicato qui sotto.

Bibliografia consigliata

  1. A. GRANVILLE. “It is easy to determine whether a given integer is prime”, Bulletin of the American Mathematical Society, 42 (2005), 3–38.

Libri di divulgazione matematica in lingua italiana consigliati
  1. E. T. BELL, I grandi matematici, Sansoni, Firenze, 1990.
  2. C. B. BOYER, Storia della matematica, Mondadori, Milano, 1990.
  3. L. CHILDS, Algebra: un'introduzione concreta, ETS, Pisa, 1983.
  4. J. H. CONWAY & R. K. GUY, Il libro dei numeri, Ulrico Hoepli Editore, 1999.
  5. R. COURANT & H. ROBBINS, Che cos'è la matematica, Bollati Boringhieri, 1971.
  6. H. DAVENPORT, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994.
  7. S. LANG, La bellezza della matematica, Bollati Boringhieri, 1991.
  8. W. RUDIN, Principi di analisi matematica, McGraw–Hill, Milano, 1991.
A stretto rigore, i libri di Childs e di Rudin sono testi del primo anno del Corso di Laurea in Matematica, ma possono essere un'utile guida per imparare i primi rudimenti di Algebra e di Analisi. Ho anche la presunzione, condivisa equamente con l'amico Alessandro Languasco, di aver scritto qualche buon articolo divulgativo sulle principali proprietà dei numeri primi.

Altri libri consigliati
Questo è un elenco di buoni libri di teoria dei numeri in inglese: lungi dall'essere esaustivo, riflette in buona parte i miei gusti personali. Questi NON sono libri di divulgazione e richiedono una solida preparazione di base: in altre parole, i corsi del primo anno del Corso di Laurea in Matematica (Algebra, Analisi, Geometria) sono appena sufficienti per capire il contenuto di alcuni fra i libri seguenti, ma per molti di questi sono necessarî anche i corsi del secondo se non del terzo anno. Comunque è impossibile comprendere davvero i problemi di cui sopra senza aver studiato a fondo almeno qualcuno di questi testi. Consiglio di cominciare da Hardy & Wright, il classico dei classici.
  1. T. M. APOSTOL, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, Berlino, 1975.
  2. K. CHANDRASEKHARAN, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, Berlino, 1968.
  3. R. CRANDALL & C. POMERANCE, Prime numbers. A computational perspective, seconda edizione, Springer, New York, 2005.
  4. H. DAVENPORT, Multiplicative Number Theory, terza edizione, Springer, Berlino, 2000.
  5. G. H. HARDY & E. M. WRIGHT, An Introduction to the Theory of Numbers, quinta edizione, Oxford Science Publications, Oxford, 1979.
  6. L. K. HUA, Introduction to Number Theory, Springer, Berlino, 1982.
  7. N. KOBLITZ, A Course in Number Theory and Cryptography, seconda edizione, Springer, 1987.
  8. E. LANDAU, Elementary Number Theory, Chelsea, New York, 1960.
  9. A. LANGUASCO & A. ZACCAGNINI, Manuale di crittografia, Ulrico Hoepli Editore, Milano, 2015.
  10. E. C. TITCHMARSH, The Theory of the Riemann zeta–function, seconda edizione rivista e annotata da D. R. Heath–Brown, Oxford University Press, Oxford, 1986.
  11. R. C. VAUGHAN, The Hardy–Littlewood Method, seconda edizione, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

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© Alessandro Zaccagnini