Crittografia

Durata: 15–20 ore.

1. Teoria elementare dei numeri
2. Come generare numeri primi: il crivello di Eratostene
3. Il massimo comun divisore e l'algoritmo di Euclide
4. Congruenze
5. Il piccolo teorema di Fermat
6. Crittografia classica
7. Crittografia a chiave pubblica
8. Il crittosistema RSA
9. Algoritmi di primalità e fattorizzazione
10. Firma digitale
11. Il linguaggio PARI/Gp

La prima parte è trattata in [1] e in [2]. Nel testo [3] c'è una descrizione elementare di alcuni crittosistemi, mentre in [4] si possono trovare approfondimenti sugli algoritmi per le operazioni elementari.

Bibliografia essenziale:

1. A. Languasco & A. Zaccagnini. Introduzione alla crittografia. Ulrico Hoepli Editore, Milano, 2004.
2. A. Languasco & A. Zaccagnini. Crittografia. Coop. Libraria Editrice Università di Padova, Padova, 2006. Progetto Nazionale Lauree Scientifiche. Sottoprogetto Matematica per il Veneto.
3. A. Zaccagnini. Cryptographia ad usum Delphini Quaderno n. 459, Dipartimento di Matematica dell'Università di Parma, febbraio 2007.
4. A. Zaccagnini. Riesame critico delle operazioni elementari. In M. Belloni e A. Zaccagnini, (a cura di), Uno sguardo matematico sulla realtà – Laboratori PLS 2010–2014, pagg. 71–91. Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Parma. PLS – Parma. CLEUP, Padova, 2014. ISBN 978-88-6787203-9
5. Video Cryptographia ad usum Delphini

Frazioni continue

Durata: 12–15 ore.

1. L'algoritmo di Euclide
2. Complessità dell'algoritmo di Euclide e numeri di Fibonacci
3. Frazioni continue per numeri razionali
4. Il problema dell'approssimazione di numeri reali
5. Frazioni continue per numeri reali qualsiasi
6. Frazioni continue per gli irrazionali quadratici
7. Applicazioni: calcolo numerico, progettazione di ingranaggi

Bibliografia essenziale:

1. A. Zaccagnini. Algoritmo di Euclide, numeri di Fibonacci e frazioni continue. In P. Vighi, (a cura di), Progettare Lavorare Scoprire, pagg. 153–162. Dipartimento di Matematica, Università di Parma, 2010. Algoritmo di Euclide, numeri di Fibonacci e frazioni continue
2. A. Zaccagnini. Frazioni continue. PLS – Parma. In preparazione.
3. Video "Algoritmo di Euclide, numeri di Fibonacci e frazioni continue"
   • Prima parte
   • Seconda parte

Collane, orecchini e scatolette: oggetti quotidiani che si possono usare in matematica

Durata: 15–20 ore.

Ci proponiamo di realizzare con gli studenti alcuni oggetti legati a strutture matematiche, solo apparentemente elementari. Alla fine del percorso gli studenti dovranno realizzare una presentazione (una serie di lucidi o un mini-video) nella quale descriveranno le varie fasi del progetto, le difficoltà incontrate e come queste sono state superate.

1. Costruzione di grafi
   L'obiettivo di questa parte del progetto è un riesame critico delle proprietà delle operazioni, in particolare della moltiplicazione.
   È possibile associare alle operazioni elementari di addizione e moltiplicazione un "grafo" che ne descrive l'effetto sui numeri naturali. Mentre nel caso dell'addizione il grafo è molto semplice, in quello della moltiplicazione è molto piú complesso e riflette la ricchezza dell'operazione. Il grafo permette di rivisitare in modo naturale il concetto di numero primo, di multiplo, di minimo comune multiplo, di massimo comun divisore.
   Dopo aver studiato alcuni esempi dal punto di vista astratto, costruiremo una porzione del grafo in questione mostrando che è necessario uscire dal piano per poterlo disegnare senza intersezioni. In particolare, il grafo sarà disegnato su un toro, di cui realizzeremo un modello concreto con una scatoletta, cartoncino e pennarelli colorati.
2. Dimostrazioni combinatorie in Teoria elementare dei numeri
   La seconda parte del progetto riguarda due dimostrazioni "senza parole" di due classici risultati della Teoria elementare dei numeri, il teorema di Fermat e quello di Wilson. Illustreremo questi teoremi mediante alcuni esempi numerici, per poi passare alla realizzazione concreta di alcuni oggetti (collane e orecchini fatte con perline colorate) il cui conteggio fornisce le dimostrazioni formali richieste. L'interesse risiede nel fatto che le dimostrazioni sono sostanzialmente prive di formule e calcoli, a differenza di quello che di solito ci si aspetta dalla matematica.

I materiali da cui partire per entrambe le parti di cui si compone il progetto sono già stati in gran parte preparati in alcuni articoli e i corrispondenti video divulgativi.

1. Riesame delle operazioni elementari: [1].
2. Costruzione di grafi: [2], [3], [4].
3. Dimostrazioni combinatorie: [5], [6], [7].
4. Dimostrazioni non combinatorie: [8].

1. A. Zaccagnini, La moltiplicazione degli scribi egizi
   Video-pillola su YouTube, 2020
2. G. Fiorini & A. Zaccagnini, Costruzione dei grafi di Z_n^*. Un laboratorio PLS in una classe terza del Liceo Scientifico Per il volume “A spasso per la Matematica — PLS 2014–2018” a cura di Alberto Saracco & Alessandro Zaccagnini, Dipartimento di Scienze Matematiche, Fisiche e Informatiche, Università di Parma. Parma, 2018, pagine 51–73 & 97–102.
3. A. Zaccagnini, Operazioni: elementari, ma non troppo!
   Per il sito web MaddMaths! (online dal 19.1.2020)
   Da questo link è possibile scaricare i due grafi da colorare.
4. A. Zaccagnini, Operazioni: elementari, ma non troppo!
   Conferenza tenuta a Parma l'11.3.2022, Video su YouTube
5. A. Zaccagnini, Il piccolo Teorema di Fermat
   Video-pillola su YouTube, 2020
6. A. Zaccagnini, Collane, orecchini e … numeri
   Per il sito web MaddMaths! (online dal 16.4.2022)
7. A. Zaccagnini, La dimostrazione combinatoria del Teorema di Wilson
   Video-pillola su YouTube, 2022
8. A. Zaccagnini, Come riconoscere i numeri primi? Il Teorema di Wilson
   Video-pillola su YouTube, 2020
9. Caterina Cozzani, Roberta Sandri & Alessandro Zaccagnini
   Collane, orecchini e scatolette — Costruzione di oggetti matematici con materiali della vita quotidiana
   (Accettato per la pubblicazione sotto condizione, ottobre 2023)
10. A. Zaccagnini, I gioielli della Matematica
    Lucidi della conferenza tenuta il 17 novembre 2023 presso il Dipartimento di Matematica, Università “La Sapienza”, Roma
    La conferenza

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