Durata, Prerequisiti e Orario

• Il corso vale 6 crediti ed è collocato nel secondo semestre; consiste di 5 ore di lezione settimanali, per un totale di circa 56 ore.
• I prerequisiti sono i corsi di Analisi Matematia 1a e 1b e Geometria 1.

Programma per l'A. A. 2023–2024

1. Presentazione del corso. Definizione di spazio metrico, funzione continua, successione convergente, successione di Cauchy {22.2.2011}
2. Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Esempi svolti ed esercizi {23.2.2011}
3. Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni: esempi svolti ed esercizi. Spaz\^i normati. Spaz\^i di Banach. Norma del sup, norma in $\mathcal{C}^1([a, b])$ {24.2.2011}
4. Richiami sulla compattezza. Teorema di Dini. Teorema delle contrazioni. Definizione di serie di funzioni. Teorema della convergenza totale. {1.3.2011}
5. Esercizi sulla convergenza uniforme e totale di serie di funzioni. Teorema di integrazione per serie, con esempi svolti. Serie di potenze: generalit\`a. Raggio di convergenza di una serie di potenze {2.3.2011}
6. Teorema di Hadamard. Teorema di Abel. Grafici di successioni di funzioni convergenti (seno, coseno, esponenziale, serie geometrica, arcotangente). Grafici di serie di Fourier {3.3.2011}
7. Esercizi sulle serie di potenze. Derivabilit\`a delle serie di potenze. Somma della serie $\sum \binom{\alpha}n x^n$ per $\alpha \in \R$ {8.3.2011}
8. Esercizi sulle serie di potenze. Serie di potenze in campo complesso. Prodotto di Cauchy per le serie di potenze. Preliminari sulle funzioni periodiche {9.3.2011}
9. Coefficienti di Fourier per una funzione continua. Determinazione esplicita dei coefficienti di Fourier per le funzioni $x$ ed $x^2$. Enunciato dei teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier. {10.3.2011}
10. Disuguaglianza di Bessel. Cenni all'identit\`a di Parseval e alle sue applicazioni. Determinazione esplicita dei coefficienti di Fourier per le funzioni $|x|$ e $\operatorname{sgn}(x)$. Esercizi {15.3.2011}
11. Teoremi sulla convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier {16.3.2011}
12. Integrazione delle serie di Fourier. Teorema di Weierstrass-Stone con dimostrazione {23.3.2011}
13. Teorema di Arzel\`a-Ascoli con dimostrazione. Grafici delle serie di Fourier di alcune funzioni elementari ($x$, $x^2$, $|x|$, $\operatorname{sgn}(x)$). La funzione di Cantor o ``scala del diavolo'' {24.3.2011}
14. La funzione di Cantor. Esercizio sulle serie di Fourier {29.3.2011}
15. Preliminari sulle equazioni differenziali. Esempi var\^i. Il problema di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili {31.3.2011}
16. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: metodo del fattore integrante e metodo della variazione delle costanti. L'equazione logistica {5.4.2011}
17. Esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine. Teorema di Cauchy-Lipschitz {6.4.2011}
18. Esercizi sulle equazioni differenziali a coefficienti costanti {7.4.2011}
19. L'equazione della molla; oscillazioni forzate (battimenti e risonanza); oscillazioni smorzate. Preliminari sulla prolungabilit\`a delle soluzioni delle equazioni differenziali {12.4.2011}
20. Prolungabilit\`a delle soluzioni delle equazioni differenziali. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti {13.4.2011}
21. Prolungabilit\`a delle soluzioni delle equazioni differenziali. Sistemi di equazioni differenziali {14.4.2011}
22. Equazioni differenziali lineari: struttura dell'insieme delle soluzioni. Operatore di evoluzione e sue propriet\`a {19.4.2011}
23. Esempi ed esercizi svolti. Sistemi di equazioni differenziali {20.4.2011}
24. Sistemi di equazioni differenziali lineari. Stabilit\`a e segno della parte reale degli autovalori della matrice associata {27.4.2011}
25. Sistemi di equazioni differenziali: il Teorema di Linearizzazione.

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