Come superare l'esame orale di Analisi Matematica 1?

-Quali definizioni, teoremi, dimostrazioni, esempi etc devo conoscere per superare l'esame orale di Analisi Matematica 1?
La risposta ovvia é la seguente:
- Tutto quello che è stato fatto a lezione!

Chi è interessato a capire non si pone questa domanda:  durante lo studio ci si rende conto in modo autonomo che in un corso di matematica tutti gli argomenti  sono legati tra loro, in quanto  ogni teorema
-segue dai teoremi precedenti
-serve a dimostrare i teoremi successivi.

Vediamo allora un'altra domanda che interessa molto lo studente di Analisi Matematica 1:
-per superare la prova orale di Analisi Matematica 1, quali definizioni, teoremi, esempi etc NON POSSO NON SAPERE?
-Risposta: tutti i risultati che compaiono nell'elenco seguente.

Nota Bene: ''sapere'' un teorema significa non solo conoscere l'enunciato, ma significa anche
---conoscere le definizioni di tutti i concetti che servono a enunciare il teorema;
--- conoscere la dimostrazione del teorema;
--- conoscere le definizioni di tutti i concetti che servono a dimostrare il teorema;
--- saper costruire esempi in cui si applica il teorema;
--- saper costruire controesempi, ovvero saper mostrare attraverso esempi che senza una o più ipotesi il teorema non è più valido.

Nota MEGLIO:
---"sapere" SOLO i teoremi della lista non assicura il superamento dell'esame orale: vi sono molte cose che non sono elencate ma che DEVONO essere note allo studente;
---  non "sapere" i teoremi che compaiono nell'elenco dà la CERTEZZA di dover rifare  l'esame orale di Analisi Matematica 1.

Numeri Naturali
-Principio di induzione e principio del minimo intero (buon ordinamento);
-Teorema del Binomio di Newton ;
Numeri Reali
-La funzione modulo e le sue proprietà ;
-Massimo e minimo, maggioranti e minoranti, estremo superiore ed inferiore, assioma di Dedekind, teorema esistenza dell'estremo superiore(MOLTO IMPORTANTE);
-La radice di 2 non è un numero razionale;
-i numeri razionali sono densi nei numeri reali (definizione di insieme denso e enunciato);
Numeri Complessi
-Rappresentazione algebrica e polare dei numeri complessi ;
-Radici n-esime di un numero complesso(MOLTO IMPORTANTE);
Continuita'
-Intorni, punti isolati e di accumulazione ;
-Continuità (definizione, esempi e controesempi)(MOLTO IMPORTANTE);
-Continuità della somma, del prodotto e della composizione;
-Teorema della permanenza del segno;
-Teorema della locale limitatezza di una funzione continua;
Limiti
-Definizione di limite(MOLTO IMPORTANTE);
-Unicità del limite;
-Teoremi del confronto per i limiti;
-Limiti fondamentali ;
Successioni
-Esistenza del limite per le successioni monotone(MOLTO IMPORTANTE);
-Il numero e; la funzione esponenziale: definizione e proprieta';
-Sottosuccessione (o successione estratta);
-Successioni limitate e teorema di Bolzano Weierstrass (enunciato);
-Successioni di Cauchy (definizione ed esempi);
-Se una successione ha limite allora e' di Cauchy;
-Se una successione è di Cauchy allora ha limite (enunciato).
Funzioni continue su un intervallo
-Teorema di esistenza degli zeri;
-Teorema di esistenza dei valori intermedi (enunciato);
-Teorema di Weierstrass (MOLTO IMPORTANTE);
-Infinitesimi e notazione di Landau; equivalenza asintotica; ordine e parte principale di un infinitesimo; principio di sostituzione dell'infinitesimo;
Funzioni lipschitziane e uniformemente continue
-Funzioni Lipschitziane; funzioni uniformemente continue (definizione ed esempi)
-Teorema di Heine-Cantor (enunciato);
Differenziabilita'
-Differenziabilità e derivabilità (definizione ed esempi di funzioni derivabili e non derivabili)(MOLTO IMPORTANTE);
-Derivata della somma, del prodotto e della composizione di funzioni derivabili;
-Derivata della funzione inversa (enunciato ed  esempi);
-Primitive (definizione) e integrale indefinito; metodi di ricerca delle primitive: integrazione per parti e per sostituzione;
Funzioni derivabili su un intervallo
-Massimi e minimi locali interni (definizione);
-Lemma di Fermat (MOLTO IMPORTANTE);
-Teorema di Rolle, di Lagrange, di Cauchy e applicazioni (MOLTO IMPORTANTE);
-Polinomi di Taylor con resto di Peano(MOLTO IMPORTANTE);
-Polinomi di Taylor con resto di Lagrange (enunciato);
Integrazione secondo Riemann
-Suddivisioni, somme per difetto (eccesso) e definizione di Integrale definito secondo Riemann(MOLTO IMPORTANTE);
-Condizioni necessarie e sufficienti di R-integrabilità;
-Le funzioni monotone sono R-integrabili ;
-Le funzioni continue sono R-integrabili (solo enunciato);
-Il teorema della media integrale, il teorema fondamentale del calcolo integrale e il calcolo di integrali definiti(MOLTO IMPORTANTE);
Integrali impropri
-Definizione; integrabilita' di xα su ]0,1] e su [0, ∞[ al variare di α (MOLTO IMPORTANTE);
-Il teorema del confronto per integrali gli impropri (enunciato);
-Il teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri (enunciato);
Serie numeriche
-Definizione di serie come successione delle ridotte parziali; serie convergente, divergente e indeterminata (definizione ed esempi)(MOLTO IMPORTANTE);
-La serie geometrica(MOLTO IMPORTANTE);
-La serie armonica generalizzata(MOLTO IMPORTANTE);
-Condizione necessaria di convergenza per le serie numeriche ;
-Serie a termini positivi;
-Criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto ;
-Criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alterno (enunciato e esempi);
-Teorema del confronto con l'integrale improprio per le serie numeriche (enunciato ed esempi).

Per ogni necessità contattatemi al seguente indirizzo di posta elettronica:

marino.belloni AT unipr.it


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