Il corso presenta
nozioni basilari di Analisi Matematica per funzioni di una
variabile reale.
Insiemi numerici.
Numeri naturali e principio di induzione; calcolo combinatorio;
elementi di calcolo delle probabilità.
Numeri interi, razionali e reali; l'assioma di completezza di Dedekind;
massimo e minimo; estremo superiore ed inferiore; la funzione valore assoluto; intervalli
di numeri reali.
Numeri complessi; forma algebrica e trigonometrica; formula di De
Moivre e radici n-esime.
Funzioni continue, limiti, successioni numeriche e funzioni uniformemente continue.
Cenni di topologia; introduzione alla continuità; definizione di funzione continua; proprietà delle funzioni continue;
Introduzione ai limiti e definizione di limite;
proprietà dei limiti; limiti fondamentali.
Successioni numeriche; limiti di successioni monotone; limiti notevoli;
il numero di Nepero; teorema di Bolzano-Weierstrass; successioni di
Cauchy.
Teoremi sulle funzioni continue su un intervallo: esistenza
degli zeri, valori intermedi, Weierstrass.
Continuità della funzione inversa.
Infinitesimi e operazioni con gli infinitesimi.
Funzioni Lipschitziane, funzioni uniformemente continue, teorema di Heine-Cantor.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale.
Differenziabilità e derivabilità di una funzione; significato geometrico della derivata; derivate e
proprietà locali delle funzioni; derivata della funzione inversa; teoremi di Rolle e Lagrange e
conseguenze; primitive.
Forme indeterminate e sviluppi asintotici; teorema di Taylor con il resto di Peano e Lagrange; studio qualitativo delle
funzioni.
Integrali e serie.
Problema dell'area e introduzione all'integrale secondo Riemann;
integrabilità delle funzioni monotone; integrabilità delle funzioni
continue; teorema della media integrale; primitive e teorema
fondamentale del calcolo; metodi di
integrazione per parti e per sostituzione; integrali generalizzati e
teoremi del confronto.
Introduzione alle serie numeriche; serie geometrica; serie
armonica generalizzata; criteri di convergenza (confronto, confronto
asintotico, radice e rapporto); criterio di confronto con l'integrale
improprio.
Modalità d'esame
Prova scritta finale che consiste in una
parte a risposte multiple, una di esercizi da svolgere ed una prova orale.
Propedeuticità
Sono indispensabili conoscenze di base di
insiemistica, di logica, delle funzioni, degli insiemi numerici, della
trigonometria e della geometria analitica. Tutte queste nozioni sono
trattate durante il precorso.
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