Il corso presenta, in forma abbastanza discorsiva,
alcune nozioni basilari di Analisi Matematica per funzioni di una
variabile reale.
Insiemi numerici.
Numeri naturali e principio di induzione; calcolo combinatorio;
elementi di calcolo delle probabilità.
Numeri interi, razionali e reali; l'assioma di completezza di Dedekind;
estremo superiore ed inferiore; la funzione valore assoluto; intervalli
di numeri reali.
Numeri complessi; forma algebrica e trigonometrica; formula di De
Moivre e radici n-esime.
Funzioni continue, limiti, successioni numeriche.
Introduzione alla continuità; definizione di funzione continua;
funzioni lipschitziane; teoremi sulle funzioni continue (esistenza
degli zeri, valori intermedi, Weierstrass).
Cenni di topologia; introduzione ai limiti e definizione di limite;
proprietà dei limiti; limiti fondamentali.
Successioni numeriche; proprietà dei limiti e differenze con il
caso delle funzioni; limiti notevoli; il numero di Nepero.
Infinitesimi e operazioni con gli infinitesimi.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale.
Funzioni derivabili; derivata e suo significato geometrico; derivate e
proprietà locali delle funzioni; teoremi di Rolle e Lagrange e
conseguenze; primitive.
Forme indeterminate e sviluppi asintotici; studio qualitativo delle
funzioni.
Integrali e serie.
Problema dell'area e introduzione all'integrale per funzioni continue;
primitive e teoremi fondamentale e di Torricelli; metodi di
integrazione; integrali generalizzati.
Introduzione alle serie numeriche; criteri di convergenza; rapporti con
l'integrale.
Attività
d'esercitazione
Si effettuano esercitazioni a piccoli gruppi.
Modalità d'esame
Vengono svolte durante il corso due prove scritte
intermedie che valgono ai fini del superamento dell’esame: la prima
prova consiste in una serie di domande a risposte multiple, mentre la
seconda prova è divisa in una parte a risposte multiple ed una
di esercizi da svolgere. Chi non fa le prove intermedie
dovrà sostenere una prova scritta finale che consiste in una
parte a risposte multiple ed una di esercizi da svolgere. L’esito
della prova finale del precorso è considerato ai fini dell’esame
finale. L'esame si può concludere
con una prova scritta sufficiente, ed il voto finale sarà pari
al minimo tra il voto ottenuto con la prova scritta e 27/30. Lo
studente che ottiene una votazione maggiore o uguale a 27/30
può sostenere, se lo desidera, un colloquio orale che
verterà su tutto il
programma svolto a lezione.
Propedeuticità
Sono indispensabili conoscenze di base di
insiemistica, di logica, delle funzioni, degli insiemi numerici, della
trigonometria e della geometria analitica. Tutte queste nozioni sono
trattate durante il precorso.
Testi consigliati
E. Acerbi - G. Buttazzo: Analisi matematica ABC
vol.1, Pitagora, Bologna, 2003
D.Mucci: Analisi Matematica ESERCIZI, Pitagora, Bologna, 2004