Durata, orario e ricevimento studenti

• I due corsi sono integrati (con un solo esame finale) e valgono 10 CFU. Vi saranno 4 ore di lezione settimanali, per la metà circa dedicate alle esercitazioni, per un totale di 100 ore circa.
• Nel primo semestre le lezioni sono il martedí dalle 10.30 alle 12.30 ed il mercoledí dalle 11.30 alle ore 13.30.
• Il ricevimento studenti avrà questo orario: giovedí dalle 15.00 alle 16.30, presso il Dipartimento di Matematica, oppure su appuntamento. In questo ultimo caso si consiglia di telefonare allo 0521/906902.
• Non ci sono prerequisiti per questo Corso. Si consiglia la frequenza.
• Durante l'anno ci saranno 4 compiti intermedi, per l'esonero dalla prova scritta finale. Le date e gli orari di queste prove e di tutti gli esami si trovano alla pagina Prossimi Esami.
• I testi di alcuni esercizi, inclusi quelli della maggior parte delle prove scritte di questo Corso degli anni passati, possono essere scaricati nel formato pdf.

Programma del Corso

Nozioni Preliminari

1. Insiemi: relazione di appartenenza. Sottoinsiemi, insieme delle parti, insieme vuoto. Operazioni con insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprietà caratteristica. Diagrammi di Eulero–Venn. Cenni ai paradossi.
2. Proposizioni e valori di verità. Connettivi e quantificatori.

1. Insiemi numerici (N, Z, Q, R, C) e loro proprietà principali.
2. Operazioni, chiusura rispetto alle operazioni. Proprietà delle operazioni: proprietà commutativa ed associativa di addizione e moltiplicazione, proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Opposto e reciproco. Elementi neutri. Valore assoluto.
3. Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Compatibilità dell'ordine con le operazioni. Principio del Buon Ordinamento di N. Proprietà di Archimede.
4. Polinomi. Operazioni sui polinomi, potenze, binomio di Newton, triangolo di Tartaglia. Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni semplici. Divisibilità di polinomi, regola di Ruffini, algoritmo di Hörner. Radici di polinomi di primo e secondo grado. Determinazione delle eventuali radici razionali di un polinomio. Fattorizzazione di polinomi sui numeri reali e sui numeri complessi. Cenni al teorema fondamentale dell'algebra e al teorema di Abel–Ruffini. Regola di Cartesio.
5. Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali quadratiche. Sistemi di equazioni lineari: metodi elementari di risoluzione.

1. Numeri reali e geometria della retta. Ascisse su una retta. Intervalli e semirette.
2. Geometria del piano cartesiano: R² come insieme di coppie ordinate. Distanza fra due punti del piano cartesiano.
3. Prodotto cartesiano di due o piú insiemi. Relazioni di equivalenza e d'ordine (cenni).
4. Funzioni: definizioni e proprietà. Dominio, codominio, immagine. Immagine inversa. Grafico di una funzione.
5. Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, funzioni costanti, funzioni lineari e affini, potenze con esponente fissato y = x^a, valore assoluto, segno, parte intera, parte frazionaria. Funzioni polinomiali.
6. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Cenni alla cardinalità degli insiemi: insiemi finiti e infiniti.
7. Composizione di funzioni. Funzione inversa con particolare attenzione alla funzione radice quadrata. Funzioni monotòne, strettamente monotòne. Funzioni pari, dispari. Inversa di una funzione monotòna. Monotonia delle potenze.

1. Numeri decimali ed operazioni con i numeri decimali. Calcolo approssimato, propagazione dell'errore. Errore relativo ed errore assoluto. Cifre significative, arrotondamenti e troncamenti. Stime ed ordini di grandezza. Percentuali. Cenni all'uso della calcolatrice scientifica.
2. Proprietà dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo.
3. Potenze a esponente razionale. Funzioni esponenziale e logaritmo e loro grafici. Proprietà delle potenze. Funzione esponenziale: i casi a > 1 ed a∈ (0,1). La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale. Cambiamenti di base. Equazioni e disequazioni con le funzioni esponenziale e logaritmo.
4. Misura degli angoli in radianti. Definizione, proprietà e grafici delle funzioni circolari elementari. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari, loro grafici e proprietà. Equazioni e disequazioni goniometriche. Cenni alle coordinate polari.

1. Successioni definite per ricorrenza o con assegnato termine generale. Induzione matematica. Successioni aritmetiche, geometriche, di Fibonacci, algoritmo di Erone–Newton.
2. Modelli matematici di crescita di popolazioni: evoluzione in presenza di risorse limitate.
3. Definizione di limite finito e di limite infinito. Teorema dell'unicità del limite e della permanenza del segno. Esistenza del limite di successioni monotòne. Esempi di successioni che non hanno limite. Operazioni con i limiti. Limite di alcune particolari successioni: numero di Nepero e = lim_n (1+1/n)ⁿ, lim_n p(n)/q(n) quando p e q sono polinomi, lim_n aⁿ/n^b per diversi valori di a e di b, lim_n n^1/n, lim_x->0 sin(x)/x.
4. Definizione di serie, serie a termini positivi, serie geometrica.

Calcolo Differenziale

1. Funzioni reali di variabile reale. Dominio e codominio. Limiti agli estremi del dominio. Studio di funzioni a partire da elementi grezzi.
2. Funzioni continue in un punto, in un insieme. Definizione di limite. Teoremi dell'unicità del limite e della permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue. Esistenza del limite per funzioni monotòne. Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Bolzano–Weierstrass.
3. Rapporto incrementale, derivata in un punto. Piccole variazioni. Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata. Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate (Rolle, Lagrange, Cauchy).
4. Segno della derivata e monotonia. Studio di funzioni. Problemi di massimo e minimo. Concavità e convessità. Derivata seconda e derivate successive. Punti di flesso.
5. Teorema di de l'Hôpital. Asintoti di funzioni reali. Applicazione al calcolo dei limiti.
6. Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teorema di Taylor e formula di Taylor con resto.

1. Aree e misura. Il problema inverso della derivazione.
2. Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità.
3. Integrabilità delle funzioni monotòne e delle funzioni continue.
4. Funzione integrale. Proprietà: additività e monotonia. Media di una funzione continua. Teorema della Media.
5. Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: sostituzione, parti.

Testi di Riferimento

1. Tom M. Apostol, Calcolo (vol. 1), Bollati Boringhieri.
2. Michiel Bertsch, Istituzioni di Matematica, Bollati Boringhieri.
3. Franco Conti, Calcolo, McGraw–Hill.
4. Franco Conti, Paolo Acquistapace, Anna Savojni, Analisi Matematica, McGraw–Hill.
5. Giuseppe De Marco, Analisi Zero, Decibel–Zanichelli.
6. Giovanni Prodi, Istituzioni di Matematica, McGraw–Hill.
7. Giovanni Prodi, Analisi Matematica, Bollati Boringhieri.
8. Walter Rudin, Principi di Analisi Matematica, McGraw–Hill.
9. Alessandro Zaccagnini & Maria Gabriella Rinaldi, Esercizi per i corsi di Istituzioni di Matematica, Azzali Editori, Parma, quarta edizione, 2008.

N.B. Testi diversi da quelli indicati qui sopra, ed in particolare quelli delle scuole superiori, si intendono esplicitamente sconsigliati.

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