Durata, Orario, Modalità dell'esame

• Il corso vale 9 crediti ed è collocato nel primo semestre; consiste di 7 ore di lezione piú 2 di esercitazioni settimanali, per un totale di circa 96 ore. Per gli studenti che ne hanno bisogno, è disponibile un tutorato di 2 ore settimanali.
• L'orario delle lezioni è sulle piattaforme di Ateneo.
• Le modalità delle prove d'esame dipenderanno dalla situazione sanitaria in atto. Quelle indicate qui sotto si riferiscono ad una situazione di assoluta normalità e devono essere considerate puramente indicative.
• L'esame consiste in due prove scritte, la prima propedeutica alla seconda, le cui modalità saranno dettagliatamente spiegate in classe.
• La prova intermedia è prevista per l'ultima settimana di novembre 2023, dura 2 ore e saranno proposti 2 esercizi (il calcolo di un limite e uno studio di funzione semplificato). Darà diritto ad un piccolo bonus (fino a 3 punti) da cumulare all'esito della prova scritta.
• Per tutte le prove scritte è indispensabile l'iscrizione tramite la piattaforma esse3. Questa iscrizione dà automaticamente diritto a sostenere la successiva prova verbalizzante, purché il voto della prova scritta sia almeno 16/30. Si possono usare libri, appunti e calcolatrice non programmabile. Le prove scritte durano 3 ore e saranno proposti 3 esercizi (il calcolo di un limite, uno studio di funzione completo, il calcolo di una primitiva). Le prove d'esame degli anni passati sono disponibili sulla piattaforma elly.
• Gli studenti che superano la prova scritta (cioè prendono almeno 16/30) devono sostenere la “prova verbalizzante”, che normalmente è fissata nei giorni immediatamente successivi alla prova scritta. Gli studenti che hanno superato la prova scritta possono sostenere la prova verbalizzante in un appello successivo, ma in questo caso devono iscriversi di nuovo alla relativa prova scritta specificando nell'apposito spazio “Solo prova verbalizzante.”
• Nella prova verbalizzante gli studenti non possono usare nulla: né libri, né appunti o altro. Si chiederà di rispondere correttamente a 8-10 domande su derivate/integrali immediati e di calcolare la primitiva di una funzione data. Non c'è una prova orale. La prova verbalizzante può essere sostenuta al massimo 2 volte; poi si deve rifare lo scritto.

Programma per l'A. A. 2023–2024

1. Elementi di teoria degli insiemi
   • Operazioni con insiemi
   • Insiemi numerici: N, Z, Q, R e C, e loro proprietà
   • Proprietà delle operazioni
   • Formula risolutiva dell'equazione di secondo grado
   • Relazione d'ordine e compatibilità con le operazioni. Intervalli e semirette in R
   • Definizione di massimo e minimo di un insieme
   • Buon ordinamento di N. Insiemi limitati e illimitati superiormente e inferiormente
2. Induzione
   • Formula per la somma dei primi n numeri naturali; formula per la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali
   • Formula per la somma dei primi termini di una progressione geometrica e applicazione ai numeri decimali periodici
   • La disuguaglianza (1 + x)ⁿ ≥ 1 + n x per n ∈ N ed x ∈ R⁰⁺
   • La disuguaglianza (1 + x)ⁿ ≥ 1 + n x + n (n - 1) x² / 2 per n ∈ N ed x ∈ R⁰⁺
   • Unicità della fattorizzazione
   • Esempi di applicazioni biiettive da N² ad N
   • Coefficienti binomiali e Triangolo di Tartaglia
3. Coordinate cartesiane nel piano
   • Equazione della retta e discussione
   • Equazione della circonferenza
   • Cenni alle sezioni coniche
4. Funzioni
   • Definizione di funzione: dominio e codominio
   • Funzioni elementari: funzione identica, funzione opposto, funzioni costanti, funzione valore assoluto, funzione reciproco, funzioni potenza con esponente intero
   • Funzioni pari e dispari
   • Funzioni lineari e affini; inversa di una funzione affine
   • Immagine diretta e immagine inversa
   • Funzioni suriettive, iniettive, biiettive. Esistenza della funzione inversa: condizioni necessarie e sufficienti
   • Composizione di funzioni
   • Calcolo combinatorio: combinazioni e disposizioni semplici. Triangolo di Tartaglia e binomio di Newton
5. Potenze ed esponenziali
   • Definizione di potenza con esponente naturale, intero; proprietà delle potenze
   • Funzioni potenza con esponente intero
   • Potenza con esponente razionale: l'inversa della funzione potenza
   • Potenza con esponente reale: la funzione esponenziale di base a ∈ R⁺ – { 1 } e sue proprietà
   • Funzioni logaritmo e loro proprietà. I logaritmi: giustificazione dell'introduzione dei logaritmi naturali
6. Numeri reali
   • Calcolo con numeri approssimati
   • Introduzione dei numeri reali mediante successioni inscatolate di intervalli: definizioni e proprietà
   • Classi separate, classi contigue
   • Il Teorema di completezza
   • Definizione di estremo superiore ed inferiore per un insieme di numeri reali e relazione con il Teorema di completezza
7. Trigonometria
   • Definizione e proprietà della funzione seno e della funzione coseno
   • Formule di addizione e sottrazione, di bisezione
   • Funzioni inverse delle funzioni seno e coseno
   • Funzione tangente e sue proprietà; funzione inversa
   • “Formule razionali” per esprimere seno e coseno mediante la tangente dell'arco metà
   • Calcolo approssimato di π mediante combinazioni di valori della funzione arcotangente
   • Successione di Archimede–Viète per π (cenni)
8. Limiti di successioni
   • Definizione di successione
   • Successioni definite per ricorrenza
   • Definizione di limite infinito
   • La successione x(n) = aⁿ è illimitata superiormente se a > 1
   • Definizione di limite finito
   • Calcolo del valore della serie geometrica
   • Limite del rapporto fra polinomi; limite del rapporto fra esponenziali; limite del rapporto aⁿ / n^k quando a > 1 e k ∈ R; limite del rapporto n! / aⁿ: cenni alla formula di Stirling
   • Il numero di Nepero e: dimostrazione dell'esistenza del limite di (1 + 1 / n)ⁿ e determinazione del suo valore
   • Formula di Binet per i numeri di Fibonacci
   • La soluzione generale della ricorrenza a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_n
   • Teorema di unicità del limite. Dimostrazioni per assurdo
   • Teorema della permanenza del segno
   • Successioni infinitesime
   • Operazioni con i limiti: limite di somma e prodotto di due successioni convergenti; limite del reciproco di una successione
   • Metodo di Erone-Newton per calcolare x^1/2, 1 / x
   • Teorema del confronto
9. Funzioni continue
   • Definizione di funzione continua in un punto, in un insieme
   • Verifica dettagliata della continuità della funzione f(x) = x² in ogni punto di R
   • Definizione di limite e principali proprietà
   • Determinazione del valore dei limiti notevoli sin(x) / x, log(1 + x) / x, (e^x - 1) / x quando x → 0
   • Dimostrazione del fatto che lim_{n → +∞} n^{1 / n} = 1
   • Somme e prodotti di funzioni continue. Il teorema di composizione. Continuità e successioni. Principio di identità dei polinomi
   • Continuità e monotonia
   • Teorema degli zeri, con dimostrazione
   • Teorema dei valori intermedi, con dimostrazione
   • Continuità dell'inversa di una funzione continua e strettamente monotòna su un intervallo (cenni)
   • Il Teorema del massimo o di Bolzano–Weierstrass. Applicazioni alle funzioni elementari (cenni)
10. Calcolo differenziale
    • Definizione di rapporto incrementale per una funzione in un punto
    • Definizione di derivata in un punto e suo significato geometrico
    • Calcolo esplicito della derivata in un punto delle funzioni xⁿ con n ∈ { 0, 1, 2, 3, -1, 1 / 2 }, e delle funzioni e^x, sin(x), xⁿ per n ∈ N, log(x)
    • Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto e del rapporto di due funzioni
    • Derivabilità e continuità; differenziabilità
    • Derivata della funzione composta e applicazioni
    • Derivata delle funzioni logaritmo e arcotangente; derivata della funzione inversa
    • Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, con dimostrazioni
    • Monotonia e segno della derivata prima. Teorema di de l'Hôpital ed applicazioni
    • Derivate successive. Formula di Taylor–McLaurin, con applicazione al calcolo numerico. Approssimazioni polinomiali delle funzioni e^x, sin(x), cos(x) vicino ad x = 0
    • Convessità e segno della derivata seconda
11. Calcolo integrale
    • Definizione di somme inferiori e somme superiori per una funzione limitata su un intervallo, e loro proprietà. Monotonia di somme inferiori e superiori rispetto alla decomposizione
    • Definizione di integrabilità per una funzione limitata su un intervallo
    • Calcolo esplicito di somme inferiori e superiori per la funzione f(x) = x con intervalli equispaziati, con applicazione al calcolo delle aree
    • Calcolo esplicito di somme inferiori e superiori per le funzioni f(x) = x^k, (k > 0) con applicazione al calcolo delle aree
    • Integrabilità delle funzioni monotòne
    • Proprietà dell'integrale. Integrabilità delle funzioni continue (cenni)
    • Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale
    • Conseguenze del Teorema fondamentale del calcolo integrale: connessione tra funzione integrale e primitive
    • Integrali immediati
    • Formula di integrazione per parti
    • Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione delle funzioni razionali il cui denominatore è un polinomio di grado 2: discussione dettagliata dei casi di discriminante positivo, nullo o negativo
    • Integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali in seno e coseno mediante le “formule razionali”
    • Approssimazioni polinomiali per le funzioni log(1 + x) ed arctg(x) vicino ad x = 0
    • Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili.

Testi consigliati

1. M. BERTSCH, R. DAL PASSO, L. GIACOMELLI, Analisi Matematica, McGraw–Hill, seconda edizione 2011
2. F. CONTI, Calcolo, McGraw–Hill
3. G. DE MARCO, Analisi Zero, Decibel–Zanichelli, terza edizione 1997
4. G. PRODI, Istituzioni di Matematica, McGraw–Hill 1994

N.B. Testi diversi da quelli indicati qui sopra, ed in particolare quelli delle scuole superiori, si intendono esplicitamente sconsigliati.

Esercizi

1. Un elenco di esercizi
2. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2012–2013
3. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2013–2014
4. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2014–2015
5. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2015–2016
6. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2016–2017
7. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2018–2019
8. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2019–2020
9. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2020–2021
10. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2021–2022
11. Le prove d'esame dell'Anno Accademico 2022–2023

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